31 de março de 2010

O que é um algoritmo?


Em 1900 Hilbert lançou um programa de investigação na matemática. Ele se propunha a saber se haveria um método pelo qual pudéssemos definir quais problemas matemáticos poderiam ser resolvidos e quais ficariam em aberto. Essa era a questão da decidibilidade da matemática.

Ele se perguntou também quais os problemas matemáticos que poderiam ser resolvidos através de algoritmos. Para isso ele se perguntou então “o que é um algoritmo?”. Anos mais tarde Turing tentou responder esta última questão e inventou a máquina de Turing.

Hoje em dia, um algoritmo é sempre representável em termos de uma máquina de Turing. Essa concepção Turing desenvolveu em 1933. A pergunta que fazemos, 110 anos depois de Hilbert e quase 80 após Turing é: o que é um algoritmo? O que ficou da definição de Turing?

Será que os algoritmos são sempre processos que param? Ou a idéia de algoritmo genético contradiiz essa definição? Será que o teorema da parada de Turing (halting theorem) ainda é válido? E será que o teorema de Gödel, cuja equivalência matemática ao teorema da parada de Turing já foi demonstrada, tem validade ainda nas questões de inteligência artificial?

Eis o teorema da parada: assim como não pode haver um conjunto que contenha todos os conjuntos possíveis, da mesma forma nunca há um último número na série. Se o último número pudesse ser produzido, haveria um sempre maior. Da mesma forma não há uma máquina de Turing que produza todas as máquinas de Turing possíveis. Será que a mente pode produzir uma teoria da mente que a explique?



Texto de Nivaldo Machado
Edição de Rafaela Sandrini

52 comentários:

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  2. Talves uma teoria da mente poderia ser criada se descobrissem um método universal aceitável do modo que houvesse um algoritmo efetivo mas que não conseguisse ser efetuado por uma máquina de Turing, e sim pela mente.

    Daniela Tamanini
    Abraços a todos.

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  3. muito interessante esta temática, já havia me deparado com alguns destes problemas nos livros do prof. João de Fernandes Teixeira, e penso que será de grande importância ao grupo de pesquisas esta temática.

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  4. Sem dúvida Turing foi um dos mais brilhantes pensadores da história. A discussão sobre o conceito de Algoritmo tomado a partir do viés proposto pela Filosofia da Mente é muito mais importante do que se poderia supor primariamente. Dada a atual conjuntura dos avanços das Ciências da Computação e das Neurociências (principalmente na tentativa de se simular em ambiente artificial estados e eventos mentais) é que se discute seriamente se o conceito de algoritmo utilizado até agora ainda é suficientemente seguro para se tratar das problemáticas hodiernamente emergientes.

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  5. hello... hapi blogging... have a nice day! just visiting here....

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  6. Nivaldo o que são as problemáticas hodiernamente emergientes?



    Abraços. Daniela Tamanini

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  8. São questões dicutidas na atualidade.

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  9. Mas, uma questão parece ser o grande problema quando a temática envolve algoritmos. Será que podemos demonstrar quais serão os elementos/fatores/raciocínios que não podem ser algoritmizados?!

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  10. Para facilitar a compreensão da Máquina de Turing, sugiro o simulador abaixo. (para pessoas que nem eu que nunca tiveram contato com isto, ou com programação, é bom procurar alternativas concretas para facilitar o entendimento – estou procurando mais)

    http://ironphoenix.org/tril/tm/

    Um pouco ruim de usar, mas interessante. Sugiro não tentar criar uma configuração, mas fazer um “Load new program” (escolhendo algum da lista) e dar ”Star” e observar o que acontece tentando fazer relação como o que é explicado no livro computadores de papel. Atenção ao quadro “programming” onde é descrito a configuração.
    Mais abaixo da tela tem o link Instructions (é bom dar uma olhada antes)

    Brinquem a vontade...

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  11. Prezados amigos,

    Andei lendo o livro Computadores de Papel de Robinson Tenório e creio que sua análise seja interessante para esta discussão. O autor apresenta no livro diversos argumentos demonstrando a falibilidade do propósito de Hilbert, ou seja, de construir um sistema lógico formal para a matemática (e em consequência disto, a possibilidade de se vislumbrar a total algoritmização de todos eventos passível de tradução em linguagem aritmética). Quanto a apresentação dos argumentos de demonstram o não pleno sucesso do empreendimento de Hilbert apresentado pelo autor, eu concordo com quase todos os pontos (principalmente os problemas causados pelos paradoxos como os de Cantor e Russel, e o teorema da Incompletudo de Godel), todavia, as conclusões apresentadas por Tenório e sua não clara defesa por uma abordagem que parece alicersar-se em Hegel e Marx muito fraca e carente de significativa melhora em sua estruturação argumentativa...

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  12. Nivaldo,

    na minha opinião algoritmos genéticos ão ferem em nada o conceito e algoritmo, visto que ele e uma sequencia de processos e tem uma parada. Na minha opinião, o problema está no uso de outras lógicas que não a lógica booleana. Não sei se se a lógica fuzzy seria capaz de resolver a gama de estados possíveis entre a verdade e a falsidade (computação spin ou dna, que possibilitam esse numero maior de estados, mas não se sabe o que fazer)

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  13. Egon,

    Concordo com você (OK! sei que isso é raro!!)

    Mas, creio que uma análise da possibilidade de se atrituir ao conceito de algoritmo critérios Heurísticos, levando em conta o atual avanço das ciências da computação/neurociências/robótica/genética, talvez seja uma boa ideia.

    A questão complicadora no conceito de algoritmo, a meu ver, esta principalmente na necessidade do fim do processamento uma vez cumpridas as etapas fornecidas...

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  14. Oi pessoal!

    Abraços...

    Daniela Tamanini

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  15. mas o problema de parada, nivaldo, na minha opinião, não forma um problema conceitual acerca do termo algoritmo..
    Mas sim, é um problema prático, assim como os problemas NP Complexos

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  16. Egon,

    Concordo com vocë em termos. Mas, o que me parece é que com o atual estágio do desenvolvimento das "novas" lógicas, talvez o conceito de algoritmo pudesse se abrandar um pouco. Por este motivo digo que talvez alguma característica heurística pudesse ser mantida. Não sei se é mesmo necessário o procedimento algoritmico chegar ao fim... talvez pudesse chegar a algum fim... OU ainda....talvez chegar ao fim...

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  17. Como sempre com um conteúdo interessante e enriquecedor, parabéns.

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  19. Tenho duvidas com relação a como abrandar o conceito, com relação ao problema da parada... podes explicar melhor, Nivaldo???

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  20. Eu também não entendi. Nivaldo Explique.

    Att.

    abraços pessoal!

    Daniela Tamanini

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  21. Se a matemática não é uma ciência exata e várias outras áreas do saber também não tem definição exata, podemos ficar na dúvida também sobre a teoria de Turing. Se um algoritmo é uma sequência finita de instruções dentro de uma máquina que esta restrita ao seu funcionamento lógico de funcionamento e não ao aspecto fisico, podendo, ser acrescentado uma quantidade infinita de informação dentro de uma mesma máquina mas que mesmo assim se tornara finita se sua capacidade de armazenamento não for aumentada. Este seria o meu entendimento sobre a teoria da parada, onde pode-se acrescentar um número á série, dentro da teoria da computação formando sempre novos conjuntos, mas dai a temática que questiona pois a máquina de turing é algo iracional que tem sem funcionamento voltado a um algoritmo, mas a mente é infinita penso eu, com uma capacidade infinita de armazenamento, mas é finita em alguns aspectos. Como perguntou o Nivaldo, será que podemos demonstrar quais serão os elementos/fatores/raciocínios que não podem ser algoritmizados?! e ele mesmo diz que com o avanço das ciências da computação e das neurociências na tentativa de simular em ambiente artificial estados e eventos mentais,podemos analisar que, a mente possui capacidade infinita de armazenamento e serve de elo como algoritmo para o funcionamento da ciência da computação, mas é finita na produção de uma teoria que a explique, pois sendo infinita a mente não ira formar um conjunto numérico finito que o explique.

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  22. Boa Noite,

    Pelo meu entendimento o algoritmo é uma sequencia de passos a serem seguidos para realizar uma tarefa,porem se em algum desses passos algo não der certo, o resultado final também não estará coreto.Mas como saber se é certo ou errado?
    Um tema muito interessante este, que me deixou intrigada.

    abraços.

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  23. Egon,

    Note, se utilizarmos alguns dos pressupostos dos Algoritmos Genéticos por exemplo, creio ser difícil manter o conceito de algoritmo tão rígido quando ele tradicionalmente é utilizado. Para ficar mais claro um algoritmo genético possui as seguintes caracterísitcas gerais:
    i) partem de mecanismos de custo e recompensa;
    ii) são probabilísticos;
    iii) trabalham com noção de papulação/espécie e não apenas indivíduos;
    iv) existe uma real preocupação com o CONJUNTO DOS PARÂMETROS e não apenas com os parâmetros em si.

    Se utilizarmos tais perspectivas, podemos obter resultados mais satisfatórios agora do que em um tempo passado (notar o critério evolucionário tipicamente darwiniano aqui...OK!). Mas, mesmo em um T futuro, e que neste tempo futuro os resultados obtidos sejam mais vantajosos, isso não vai implicar em não podermos aplicar o conceito de algoritmo no instante T presente, passado e futuro!....

    Egon, o que tenho me preocupado bastante é que resultados mais vantajosos são um excelente critério! Mas, algo mais vantajoso em análise em perspectiva futura (ou at~e mesmo em outro paradigma de análise) possa vir ser interpretado como não-tão-vantajoso-assim! Mas, mesmo assim, continuo afirmando que ser vantajoso é um notável critério, apenas isso. Mas, tal característica evolucionária implica em não termos um conceito de algoritmo com INÍCIO, PROCESSAMENTO e FIM NECESSÁRIO (tal fim pode ser provisório, e ainda mais, poderá evoluir no tempo!)

    ... mas, vamos discutindo pq o problema é bem maior!

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  24. Nivaldo,

    ai descordo de ti. Algoritmos genéticos não te dão a certeza de uma solução ótima (visto que vc não tem controle sobre os cross-over, as mutações), porém, estabelecem critérios de paradas (solução boa, otimo local, ou time-out).
    Lembre-se que algoritmos genéticos, também geram sistemas teleológicos (veja Teoria Geral de Sistemas) e como tal, tem alguma função, um objetivo (que deveria ser alcançado, mas o sucesso é incerto).
    Lembre-se que nem sempre existe evolução nas mutações. As vezes a comunidade é piorada!!! (ou vc acha q vc é uma evolução, qdo comparado ao seu pai - brincadeira).

    Nivaldo, vc deve estar fazendo alguma confusão conceitual acerca de algoritmos genéticos. As populações não ficam executando mutações, infinitamente, mas tem uma parada, baseado no objetivo inicial, ou no estouro de tempo (e neste caso, sem encontrar solução).

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  25. Calma Egon,

    Você está sendo precipitado em vários tópicos! Evolução não implica necessariamente melhora. Segundo, Algoritmos genéticos não dão, necessariamente ótimas soluções, não Mesmo! Mas dão soluções em alguns casos...

    sobre o conceito de Mutação e de Objetivo teleologicamente pré-determinados, bom.... a discussão não cabe aqui.... é bastante longa.



    Mas, o exemplo que usas o Filho em relação ao pai é um ótimo exemplo....Um pai saudável pode gerar filhos com alguma mutação genética que implique em piora na quele indivíduo da espécie!

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  26. Olá! Sendo que um algoritmo é definido por receber valores e produzir valores , fico na duvida se realmente a definição de algoritmos, esclarecido pela teoria de Turing é exata. Será que é possível afirmar que é realmente concreto? ainda mais se estamos falando em mente.
    Algo que não se tem como ter certeza absoluta, por possuir questões infinitas.

    Muito interessante essa abordagem

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  29. ...Será que a mente pode produzir uma teoria da mente que a explique?
    Bom, acredito que a própria mente seja sim capaz de produzir sua própria teoria, porém como comprovar que ela é correta? Assim como em tudo temos dúvida. O que é certo? E o que é errado? Difícil né.
    Na realidade, sempre haverão pessoas querendo provar ao contrário do que hoje acreditamos ser real e assim sucessivamente.
    Na própria filosofia, cada filósofo diz ser sua filosofia a melhor, ou a verdadeira, porém não sabemos qual é a correta.
    Eu cursando Psicologia, as vezes pego-me perguntando. Qual a abordagem teórica devo seguir? E qual a melhor? E qual é a verdadeira?
    Pelo que entendi sobre o que um algorítmo representado pela máquina de Turing, é algo que pode contrariar o infinito? Não entendi muito bem, mas gostaria de ter em sala de aula uma explicação a respeito.

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  30. Na verdade tenho duvidas em relação a máquina de turing,Nivaldo podes me explicar,pois achei interresante esta temática.Obrigado

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  31. Tendo como primeiro entendimento dsobre algoritmo que este serve para cumprir tarefas , seja de natureza computacional ou do ser humano , vejo uma temática bastane intrigante a ser discutida

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  32. Olá,Penso que a mente posa sim formar uma teoria que a explique,só não sei se pode ser correta.
    Sobre algortimos,como meu primeiro entendimento,tem haver com a ciencia da computaçao e do ser humano.

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  33. OK!.... sobre a Máquina de Turing:

    Provavelmente nem Charles Babbage, que foi um dos pioneiros das ciências da computação, não pudesse imaginar o grande e constante desenvolvimento da informática nos tempos atuais. A possibilidade da construção de um computador digital foi dada ao mundo por meio de um breve artigo no ano de 1936. Porém, apesar de que com o passar dos tempos as inovações no âmbito computacional viessem a ter transformações consideráveis, foi, através deste inusitado artigo (que fora lançado em um jornal de matemática) que, seu autor, Alan Mathison Turing, estaria propiciando ao mundo o fator que provocaria um salto significativo no avanço tecnológico. E, Turing, neste momento, já estava prevendo a possibilidade de uma máquina simular os processos de conhecimento humano. Para ele, o que faz o raciocínio humano quando executa um cálculo são operações para transformar números em uma série de estados intermediários que progridem de um para outro de acordo com um conjunto fixo de regras, até que uma resposta seja encontrada. Algumas vezes usamos papel e lápis para não perdemos os estados dos nossos cálculos. As regras da matemática exigem definições mais rígidas que aquelas descritas nas discussões metafísicas sobre os estados da mente humana, e Turing concentrou-se na definição destes estados de tal maneira que fossem claros e sem ambigüidades, para que tais definições pudessem ser usadas para comandar as operações da máquina. A partir deste ponto Turing começou uma descrição precisa de um sistema formal, na forma de tabela de instruções que descreviam quais movimentos a fazer para qualquer configuração possível dos estados no sistema. Ele então provou que a descrição destas informações, que os passos de um sistema axiomático formal semelhante à lógica, e o estado da máquina que fazem os movimentos em um sistema formal automático são equivalentes entre si. Estes conceitos estão todos subjacentes na tecnologia atual dos computadores digitais, que foram possíveis somente uma década depois da publicação de Alan Turing. A Máquina de Turing, como é conhecida, teve sua demonstração no artigo de Turing quando ele pediu ao leitor que considerasse um dispositivo que pudesse ler e escrever símbolos em uma fita que estava dividida em quadrados. Uma cabeça de leitura/gravação se moveria em qualquer direção ao longo da fita, um quadrado por vez, e uma unidade de controle poderia interpretar uma lista de instruções simples sobre leitura e gravação de símbolos nos quadrados, movendo-se ou não para a direita ou esquerda. O quadrado que é “lido” em cada etapa é conhecido como quadrado ativo. A regra que está sendo executada determina o que se convencionou chamar estado da máquina. A fita é potencialmente infinita. Turing dizia que ao se comparar um output de uma máquina e o de uma pessoa poderíamos chegar a conclusão de que uma máquina pensa, caso as respostas fossem indistingüíveis. Por exemplo, se fizéssemos a questão: quanto é 2 X 100?, ao comparar a resposta de uma máquina com a de uma pessoa, sendo as duas respostas idênticas, poderíamos chegar a conclusão de que a máquina pode pensar tanto quanto o homem. Nesse sentido, seu teste visava determinar com que freqüência as pessoas seriam incapazes de distinguir entre amostras de output de seres humanos em relação aos de uma máquina; se os resultados do teste mostrassem que a freqüência com que os sujeitos do teste pudessem distinguir entre o output humano e o output de um computador fosse estatisticamente insignificante, isso significaria que é correto dizer que não há uma diferença essencial entre um humano-pensante e uma máquina-pensante...

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  34. Se compreendi bem, a idéia da máquina de Turing surgiu de uma formalização matemática que gerou uma estrutura universal para lidar com informação, e logo em seguida apareçeu o problema de saber se todos os processos param. Se o objetivo é construir uma teoria sobre o funcionamento, a existência e causação da mente, então não vejo como um problema teórico poderia afetar a construção dessa teoria. Caso a pessoa adote uma teoria computacional da mente, e também acredita que o funcionamento cerebral é algo semelhante aos algoritmos, talvez o problema da parada poderia afetar.

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  35. Olá pessoal, estou meio sumido do grupo e do blog, mas esse assunto me interessa bastante e por meio de uma pesquisa que fiz PInker fala muito sobre a máquina de Turing e sobre algoritmos , acho interessante esta temática pois a nossa vida é um algoritmo e entender um pouco sobre este tema faz com que entedemos sobre a o funcionamento mental e a origem da vida

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  36. ângelo,

    Não sei se nossa vida é mesmo um algoritmo (risos)... mas, talvez possas dar uma olhada em Algoritmos Genéticos. É uma temática interessante pois aproxima muito a processos biológicos dos computacionais.

    Quanto tento problematizar a questão do conceito de ALGORITMO... uma das temáticas que me levaram a isto fora justamente a tentativa de junção de alguns princípios darwinianos em relação a logicidade interna do processamento algoritmico...

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  38. A discussão sobre o tema está grande, porém, pelo que entendi no texto ainda não ficou totalmente claro o termo algoritmo, pelo menos pra mim. Espero que possamos discutí-lo novamente em nossos encontros.

    Até mais =)

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  39. Angelo,
    se nossa vida fosse um algoritmo como afirmas, poderíamos criar máquinas com a mesma capacidade funcional que a nossa (seres humanos), o que seria um enorme avanço para nossos dias...o problema é que os cientistas ainda esbarram em várias questões que não podem ser transformadas em algorítimo, como por exemplo os processos mentais, a consciência, e esses outros abacaxis que nós da filosofia da mente estudamos!!!

    sendo assim, se a vida é um algoritmo, ainda estamos muito longe da sua compreensão!

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  40. Bruno,

    "Se o objetivo é construir uma teoria sobre o funcionamento, a existência e causação da mente, então não vejo como um problema teórico poderia afetar a construção dessa teoria."

    veja bem, em sua própria afirmação podes encontrar a sua resposta: sempre que o objetivo for construir uma Teoria, os problemas teóricos vão afetar a construção desta teoria. Não é possível simplesmente fechar os olhos quando os pesquisadores dizem que uma máquina não pode decidir quando ela pára ou não. Vamos dar um exemplo: a máquina em questão é um foguete espacial levando 4 astronautas à lua. Seus motores foram programados para parar ao KM 457 que é onde fica a lua. No entanto, o computador usado nesta operação foi construido por pesquisadores que ignoraram o problema da parada, e agora ele está em looping eterno, não sabendo decidir a hora de parar. E agora jõao?!!

    voltando a questão, muitas vezes teorias podem sobrepor umas as outras, neste caso se uma teoria explica melhor um evento ela pode substituir a teoria antiga...no caso dos algoritmos, estamos em busca de um conceito mais refinado do que o que temos atualmente, que possa resolver o problema da parada, mas por enquanto esta questão ainda não está nada decidida, e sendo assim, interfere na construção de uma possível nova teoria pois esta terá que explicar mais satisfatoriamente o que a antiga estava querendo explicar.

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  41. Cris,

    ao meu ver, o termo algoritmo foi bem explanado, o que não ficou nada resolvido foram os problemas que ele suscita, e é nisso ao meu ver que devemos trabalhar...estamos como já afirmei, em busca de um novo conceito de algoritmo que possa resolver melhor estes problemas, e é nisso que residem as discussões....!

    ;)

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  42. Eduardo,


    Você percebeu EXATAMENTE o nosso problema!

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  44. Eduardo,

    Entendi o que você disse e concordo. Porém, como eu ja havia comentado, para mim o termo ainda não está totalmente claro.

    ;)

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  45. Pausa para PROPAGANDA!

    Amigos, estamos lançando um Livro com alguns capítulos que talvez possam interessar (sobre filosofia da mente, filosofia da biologia, ciências cognitivas, lógica...).

    logo estará disponível na livraria cultura... mas, se alguém quiser (e por um preço de lançamento) já está disponível da livraria da UNIDAVI.

    MACHADO, Nivaldo; SEGATA, Jean (orgs). Filosofia(s). Rio do Sul: Editora da UNIDAVI, 2010.


    abraço a todos

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  46. Olá a todos,

    Mencionar a feitura de uma teoria da mente que possa unir dados provindos de princípios darwinianos associados aos fundamentos algorítmicos parece tentador; afinal, se dos princípios lógicos provém alguma sugestão de método, se não pretencioso de verdade absoluta em conteúdo, ao menos há a intuição provinda de bases fundamentadas em conhecimento justificado. Me parce ser um bom começo na formação de qualquer qualificada teoria...Isso não difere quanto aos estudos dos conteúdos mentais...

    Contudo, é importante frizar que isso não significa a determinação que venha a excluir a metafísica. Uma suposição é a de efetuar estudos fazendo uso de método justificado, e outra é admidir que os dados obtidos, se reunidos, resultarão em uma mente. Mesmo assim, tal conclusão não desvaloriza o método quanto a sua inteligilbilidade, inclusive pelo fato de se esperar dele apenas o que for no mínimo, condizente com linguagem compreensível ao homem.

    Admitir teorias que venham a atribuir ao homem um poder de pensamento que transcende a ele, e ou ainda, adotar tal imaginação com termos ditos científicos, e -vejam bem- VERDADEIROS, me parece no mínimo arriscado e comprometedor da continuidade das investigações; afinal o que há para ser descoberto após A VERDADE? E quem se habilitaria para dizer que a encontrou?

    Em meio a esse teor ceticista, vê-se nada mais que a necessidade de que haja uma
    estrutura metodológica comprometida apenas com ela, em sua eficácia, para que a honestidade intelectual apareça.

    Quanto aos algorítmos, se deles, a plausabilidade na máquina de Turing ainda nos deve respostas, que a procuremos, uma a uma.

    Abraços.

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  47. Nivaldo,

    Com essas temáticas, esse livro é leitura obrigatória.

    Parabéns!

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  48. MaRÍNDIA,

    De Fato, o livro ficou interessante... e TODOS os meus amigos que escreveram comigo esta obra doaram integralmente seus direitos autorais para que pudéssemos lançar um livro de qualidade por um preço muito baixo!

    Escrevem capítulos do livro Filosofia(s):

    - Carlos Manholi: Filosofia da Lógica
    - Gustavo Leal Toledo: Filosofia da Biologia
    - João de Fernandes Teixeira: que nos brinda com um belo capítulo sobre Ciências Cognitivas
    - Alexandre Meyer Luz: Filosofia, Ciência e Religião
    - Raquel Anna Sapunaru: Filosofia da Física
    Camila Jourdan: Filosofia da Matemática e Filosofia da Linguagem
    Jean Segata: Antropologia e Filosofia
    - Rafael Faz: Filosofia e Robótica
    - e eu dei uns pitacos sobre Filosofia da Mente...

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  49. Recomenda-se leitura de artigo:
    De Gustavo Leal Toledo: "A Plausabilidade de Feyerabend".

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  50. Parabéns pelo livro!

    ;)

    Até mais =)

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  51. quer dizer, para Feyerabend em seu livro "Contra o Método", devemos defender a máxima do "Tudo Vale" na ciência. Longe de um relativismo, a crítica de Feyerabend está em perceber que na ciência não existe, nunca existiu e não deve existir um método soberano que seja inquestionável. Para sustentar tal afirmação ele nos lembra de que o mundo é ainda muito desconhecido para nós, e sendo assim, não podemos saber qual será o melhor método de se conhecer o que ainda está por vir.

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  52. O Objetivo de Feyerabend é convencer o leitor de que todas as metodologias têm suas limitações, mas não diz que elas estão erradas. O que Pretende clarear, é a abertura para a construção de novas teorias/fatos "que se oponham a estas regras metodológicas".
    A coerência das teorias deve ser violada para que uma nova teoria possa ser criada e não necessáriamente a´dequada a já existente. As novas teorias devem ser criadas livremente, não ´precisando seguir uma mesma regra metodologica. Como exposto no artigo se constata em toda a história da ciência a não existência de uma única regra metodológica que tenha sido sempre seguida, por não se saber o uqe se tem ainda por conhecer.
    Omodo de lidar com o mundo deveria ser a escolha livre de cada um.

    ATT.
    Daniela Tamanini. Abraços.

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